Proof complexity lower bounds of combinatorial principles

Abstract

Работа посвящена изучению пропозициональных систем доказательств, основанных на OBDD, которые были введены Атсериасом, Колаитисом и Варди в 2004 году. Такие системы доказательств доказывают невыполнимость КНФ формулы путем вывода тождественно ложной OBDD из OBDD, представляющих дизъюнкты этой формулы. Мы рассматриваем систему доказательств OBDD(∧), которая использует только правило конъюнкции, и систему доказательств OBDD(∧, reordering) (предложенную Ицыксоном, Кнопом, Ромащенко и Соколовым в 2017 году), которая помимо правила конъюнкции использует также правило смены порядка. Мы изучаем возможность балансировки этих систем, иными словами, всегда ли опровержение размера S может быть переделано таким образом, что его глубина станет O(log S), а размер увеличится лишь в полиномиальное число раз. Мы построили семейство невыполнимых КНФ формул F_n таких, что у F_n есть древовидное OBDD(∧) опровержение полиномиального размера и полиномиальной глубины, но для любого OBDD(∧, reordering) опровержения Π формулы F_n и для любого α ∈ (0,1) верно следующее: размер Π хотя бы 2^Ω(n^α) или глубина Π хотя бы Ω(n^(1 - α)). Как следствие, мы получили, что OBDD(∧), OBDD(∧, reordering), а также их древовидные версии не балансируемые. Формулы F_n являются Pebbling формулами на графах сетках n × n и кодируют следующий комбинаторный принцип. Каждой вершине графа сетки n × n подставляется 0 или 1. Формулы проверяют, что если во всех непосредственных предков вершины подставлены 1, то и в саму вершину должна быть подставлена 1; при этом в сток графа должен быть подставлен 0.

We study OBDD-based propositional proof systems introduced in 2004 by Atserias, Kolaitis, and Vardi that prove the unsatisfiability of a CNF formula by deduction of an identically false OBDD from OBDDs representing clauses of the initial formula. We consider a proof system OBDD(∧) that uses only the conjunction (join) rule and a proof system OBDD(∧, reordering) (introduced in 2017 by Itsykson, Knop, Romashchenko, and Sokolov) that uses the conjunction (join) rule and the rule that allows changing the order of variables in OBDD. We study whether these systems can be balanced i.e. every refutation of size S can be reassembled into a refutation of depth O(log S) with at most a polynomial-size increase. We construct a family of unsatisfiable CNF formulas F_n such that F_n has a polynomial-size tree-like OBDD(∧) refutation of depth poly(n) and for arbitrary OBDD(∧, reordering) refutation Π of F_n for every α ∈ (0, 1) the following trade-off holds: either the size of Π is 2^Ω(n^α) or the depth of Π is Ω(n^(1−α)). As a corollary of the trade-offs, we get that OBDD(∧) and OBDD(∧, reordering) proofs cannot be balanced. The formulas F_n are Pebbling formulas over n × n grid graphs and encode the following combinatorial principle. Each grid graph’s node is substituted with 0 or 1. Formulas check that if all immediate predecessors of a node are substituted with 1 then the node is also substituted with 1; also the sink of the graph must be substituted with 0.