Some conjectures on morphic words

Abstract

В настоящей работе были рассмотрены две задачи о морфических словах: об их линдоновости и абелевой периодичности. Доказано, что в одном известом результате система условий, составляющих критерий линдоновости морфического слова над бинарным алфавитом, является избыточной. Это дало новую формулировку критерия для бинарных слов, на основе ко- торого сформирована гипотеза о критерии линдоновости морфических слов над алфавитами размера 3 и более. Кроме того, была предоставлена классификация коротких морфизмов по свой- ству абелевой периодичности их неподвижной точки. Приведены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия абелевой периодичности в общем случае, а также сформулирована гипотеза о необходимом и достаточном условии абелевой периодичности морфических слов.

In this work, two problems about morphic words were considered: one is about the Lyndon property and another is about Abelian periodicity. It was proved that in one well-known result, the system of conditions that make up a criterion for a morphic word over a binary alphabet to be Lyndon word is redundant. This gave a new formulation of the criterion for binary words, on the basis of which a hypothesis was formed for morphic words over alphabets of size 3 and more. There was provided a classification of short morphisms by the property of the Abelian periodicity of their fixed point. Also some necessary and some sufficient conditions for Abelian periodicity were stated, and there was formulated a hypothesis about the necessary and sufficient condition for Abelian periodicity of morphic words.