Investigation of efficiency of some nonparametric tests for testing discontinuiuty of regression function and Poisson process intensity

Abstract

Рассматривается задача проверки гипотезы о разрывности функции регрессии и плотности интенсивности пуассоновского процесса. Для первой задачи предложен непараметрический критерий, построенный на основе ядерной оценки условной медианы, ранее не представленный в литературе, аналитически изучены его асимптотические свойства, подтверждённые моделированием, а также построена его модификация на основе теории перестановочных критериев в нестьюдентизированной и стьюдентизированной формах. Нестьюдентизированный перестановочный критерий работает так же хорошо, как стьюдентизированный в конечных выборках при соблюдении гипотезы равенства двух распределений, но когда она неверна, корректным оказывается только стьюдентизированный, что подтверждается в моделировании. Предложенный критерий оказывается устойчив к шуму в данных в отличие от представленного в литературе аналогичного критерия, построенного на основе ядерной оценки условного матожидания, как показывает моделирование. Для задачи, относящейся к пуассоновскому процессу, предложен непараметрический критерий, построенный на основе ядерной оценки разрыва плотности интенсивности, ранее не встречавшийся в литературе. Его теоретические свойства аналитически изучены и подтверждены моделированием.

The problem of discontinuity of regression function and Poisson point process intensity density is considered. The nonparametric test based on the conditional median kernel estimator, which have not been implemented in literature yet, is proposed to tackle with the first problem of interest. Its asymptotical properties are investigated analytically and verified by simulations. Its modification based on permutation test theory is constructed in both nonstudentized and studentized forms. The nonstudentised permutation test works as well as the studentised one in case of finite sample size when the two distributions equality hypothesis holds whilst only the studentised test is valid if this is not the case. This is demostrated by presented simulations. The proposed test is shown by simulations to be robust to noisy data as opposed to the other one which is implemented in literature and built by means of the conditional mean kernel estimator. As for the Poisson point process is concerned, the nonparametric test based on the intensity density discontinuity kernel estimator, which have not been proposed in literature yet, for solving the problem of interest is suggested. Its theoretical properties are studied analytically and justified by simulations.