CNF encodings of parity

Abstract

Минимальное число клозов в КНФ представлении функции четности $x_1 \oplus x_2 \oplus \dotsb \oplus x_n$ - это $2^{n-1}$. Можно получить более компактную КНФ - кодировку, используя дополнительные переменные. Мы доказали следующие нижние оценки, которые почти совпадают с верхними, на число клозов $m$ и максимальную ширину клоза $k$: 1)~если использовать не больше $s$~дополнительных переменных, то $m \ge \Omega\left(2^{n/(s+1)}/n\right)$ и $k \ge n/(s+1)$; 2)~минимальное число клозов - хотя бы $3n$. Мы получили первые две оценки из Satisfiability Coding Lemma авторов ~Paturi, Pudl{\'{a}}k, и Zane.

The minimum number of clauses in a~CNF representation of the parity function $x_1 \oplus x_2 \oplus \dotsb \oplus x_n$ is $2^{n-1}$. One can obtain a~more compact CNF encoding by~using non-deterministic variables (also known as~guess or~auxiliary variables). We prove the following lower bounds, that almost match known upper bounds, on~the number~$m$ of~clauses and the maximum width~$k$ of clauses: 1)~if there are at~most $s$~auxiliary variables, then $m \ge \Omega\left(2^{n/(s+1)}/n\right)$ and $k \ge n/(s+1)$; 2)~the minimum number of clauses is at~least~$3n$. We~derive the first two bounds from the Satisfiability Coding Lemma due to~Paturi, Pudl{\'{a}}k, and Zane.