Communication complexity bounds on Boolean functions and Karchmer-Wigderson games

Abstract

В этой работе изучается коммуникационная сложность в разных моделях. Первой рассматриваемой моделью является полудуплексная коммуникационная сложность, предложенная в [HIMS18]. В отличие от классической модели коммуникационной сложности, предложенной Яо, в полудуплексной модели Алиса и Боб могут говорить или слушать одновременно, как если бы они разговаривали по рации. Мотивация для такой коммуникационной модели исходит из изучения гипотезы Карчмера – Раза – Вигдерсона. В этой модели мы доказываем верхние и нижние оценки на коммуникационную сложность некоторых булевых функций и игр Карчемера-Вигдерсона. Также мы устанавливаем связь между классической недетерминированной сложность и полудуплексной недетерминированной сложностью.

Далее мы показываем как можно адаптировать метод случайных ограничений для обобщенных игр Карчмера-Вигдерсона. В заключение, мы рассматриваем коммуникационную сложность с оракулом равенства и точного расстояния Хэмминга. В этой модели мы показываем оценки на вычисление точного расстояния Хэмминга k с оракулом точного расстояния Хэмминга l, а также доказываем, что сложность случайной функции с оракулом однобитового равенства равна n - o(n).

In this paper, we study communication complexity in different models. The first model we consider is the half-duplex communication model proposed in [HIMS18]. Unlike the classical model of communication complexity introduced by Yao, in the half-duplex model, Alice and Bob can speak or listen simultaneously, as if they were talking using a walkie-talkie. The motivation for such a communication model comes from the study of the Karchmer–Raz–Wigderson conjecture. We prove upper and lower bounds on some Boolean functions and Karchemer-Wigderson games in this model. We also establish a connection between classical non-deterministic complexity and half-duplex non-deterministic complexity.

Next, we show how to adapt the random restrictions method for generalized Karchmer-Wigderson games. Finally, we consider the communication complexity with the oracle of equality and the exact Hamming distance. We prove bounds for the exact Hamming distance k with the oracle of the exact Hamming distance l, and we show that the complexity of a random function with the oracle of one-bit equality is n - o(n).