Combinatorics and geometry of subgroups in braid groups

Abstract

Гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации пространств. В отличие от групп гомологий, которые также являются топологическими инвариантами, гомотопические группы неожиданно сложны для вычисления. С пространством можно попробовать связать подходящую симплициальную группу, у которой геометрическая реализация будет гомеоморфна этому пространству. По классической теореме Мура, группы "гомологий" цепного комплекса, ассоциированного с этой симплициальной группой, будут изоморфны гомотопическим группам исходного пространства. Эта теорема предоставляет чисто комбинаторный подход для вычисления гомотопических групп.

Гомотопические группы сфер являются камнем преткновения теории гомотопий. Используя подход, описанный выше, Berrick, Cohen, Wong и Wu предложили в [1] дельта-группу, у которой группы "гомологий" ассоциированного комплекса Мура совпадают с гомотопическими группами двумерной сферы. Оказывается, что группы в этом комплексе являются некоторыми подгруппами групп крашеных кос. Группа крашеных кос - это объект из геометрической топологии, имеющий очень простое комбинаторное описание. Конструкция этой дельта-группы позволяет нам изучать некоторые аспекты гомотопической группы двумерной сферы, пользуясь методами теории кос.

В совместном исследовании [2] Илья Алексеев, Михаил Михайлов и автор исследуют этот комплекс и доказывают, что группы его циклов и границ инвариантны относительно всех автоморфизмов групп крашеных кос. Можно заключить, что есть индуцированное действие всех автоморфизмов групп крашеных кос на гомотопических группах двумерной сферы.

В этой работе мы представляем явные формулы для действий, индуцированных сопряжениями косами и некоторым примечательным автоморфизмом theta. Чтобы получить основные результаты, мы строим некоторую braided симплициальную группу, понятие которой было представлено в работе [3]. Также мы восстанавливаем доказательство основного результата работы [2] и упрощаем некоторые детали, пользуясь новыми конструкциями.

[1] J. A. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, J. Wu, "Braids, configurations and homotopy groups", J. Amer. Math. Soc. 19 (2006) 265-326. [2] I. Alexeev, V. Ionin, M. Mikhailov, "Actions of automorphisms of pure braid groups of two-sphere", 2021, arxiv:2112.05805. [3] J. Wu, "A braided simplicial group", Proc. London Math. Soc. (3) 84 (2002), 645-662.

The homotopy groups are used in algebraic topology to classify spaces. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are unexpectedly complex and hard to compute. Given a space, one could find an appropriate simplicial group whose geometric realization is homeomorphic to this space. By Moore's classical theorem, the `homology' groups of the chain complex associated with this simplicial group would be the homotopy groups of this space. This yields a purely combinatorial approach to compute homotopy groups.

The homotopy groups of spheres are a cornerstone of homotopy theory. Using the approach presented above, Berrick, Cohen, Wong, and Wu introduced in [1] the Delta-group structure such that the `homology' groups of the associated Moore complex coincide with the homotopy groups of the 2-sphere. It turns out that the n-chains groups of this complex are some subgroups of the pure braid groups. The pure braid group is the object from geometric topology having very simple combinatorial description. The construction of this Delta-group allows us to study some aspects of homotopy groups of the 2-sphere using methods of braid theory.

In the collaborative research [2], Ilya Alexeev, Mikhail Mikhailov, and the author examine this complex and prove that the cycle and the boundary groups are invariant under all automorphisms of the pure braid groups. By that, authors extend the results of Li and Wu on the reflection automorphism. One concludes that there is an induced action of all automorphisms of the pure braid groups on the homotopy groups of the 2-sphere.

In this thesis, we give the explicit formulas for the actions induced by all conjugation-by-braid automorphisms and by some noteworthy automorphism theta. To obtain these results, we construct some braided simplicial group (this notion was introduced in [3]). Also, we recover the proof of the main result of [2] and simplify some parts of it using new constructions.

[1] J. A. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, J. Wu, "Braids, configurations and homotopy groups", J. Amer. Math. Soc. 19 (2006) 265-326. [2] I. Alexeev, V. Ionin, M. Mikhailov, "Actions of automorphisms of pure braid groups of two-sphere", 2021, arxiv:2112.05805. [3] J. Wu, "A braided simplicial group", Proc. London Math. Soc. (3) 84 (2002), 645-662.