Various problems of random filling of sets

Abstract

Задача о случайном заполнении отрезка была впервые сформулирована Альфредом Реньи в 1958 году. В ней на отрезок большой длины случайным образом равномерно располагается интервал длины 1, тем самым разбивая изначальный отрезок на два. Полученные отрезки заполняются независимо аналогичным образом до тех пор, пока все оставшиеся отрезки на станут длиной меньше единицы. В работе Реньи была получена асимптотика суммарного количества размещённых в течение описанного выше процесса интервалов при условии, что длина изначального отрезка стремится к бесконечности. Позднее, в работе Арье Дворецкого и Герберта Роббинса 1964 года была также вычислена асимптотика дисперсии и получена асимптотическая нормальность количества размещённых интервалов. Данная диссертационная работа затрагивает одно прямое обобщение описанной выше задачи, а также несколько её дискретных аналогов. В работе получены аналогичные результаты для этих задач, такие как асимптотика математического ожидания и старших моментов количества размещённых интервалов. В некоторых задачах также получен результат об асимптотической нормальности.

The random filling problem was initially formulated by Alfred Renyi in 1958. In this problem an interval of unit length is located on a long interval uniformly dividing it into two. The obtained intervals are further filled the same way until all the rest intervals have length smaller than one. In the paper of Renyi the asymptotics of the cumulative amount of placed interval was established as the length of the initial interval tends to infinity. Afterwards, in the paper of Dvoretzky and Robbins in 1964 the asymptotics of the variance of such amount as well as the asymptotic normality of the cumulative amount of intervals. The current dissertation considers one straight extension of the problem described above and some discrete analogues of the random filling problem. The manuscript presents the similar results for the mentioned problems such as the asymptotics of the expectation and the higher moments of the total amount of the placed intervals. For some of the problems the asymptotic normality is also obtained.