Proportionality mechanism for the k-median facility location problem

Abstract

В общем случае задача о размещении объектов (также известная как задача о нахождении $k$-центра) состоит в том, чтобы для $n$ точек $\ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_n$ в метрическом пространстве $\Omega$ найти $k$ точек $f_1, f_2, \ldots, f_k$ таких, чтобы сумма $$\sum_{i =1}^n \min_{j = 1}^k d(\ell_i, f_j)$$ была минимальной.

В силу NP-сложности нахождения точного решения, интересны механизмы хорошо аппроксимирующие оптимум, такие как Пропорциональный механизм. В этой работе, используя метод $k$-медиан, мы докажем, что он аппроксимирует оптимум с константой $8 + 4\log k$.

In the general case, the facility location problem (also known as the $k$-center problem) is finding $k$ points $f_1, f_2, \ldots, f_k$ given $n$ points $\ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_n$ in a metric space $\Omega$, such that the sum $$\sum_{i = 1}^n \min_{j = 1}^k d(\ell_i, f_j)$$ is minimal.

Due to the NP-hardness of finding the exact solution, mechanisms that approximate the optimum well, such as Proportional mechanism, are of interest. In this paper, using the $k$-medians clustering method, we prove that this mechanism approximates the optimum with constant $8 + 4\log k$.