Hardest formal languages

Abstract

В теории формальных языков большое значение имеет понятие гомоморфной сводимости: язык называется сводимым к другому, если он представляется в виде его прообраза при каком-то гомоморфизме строк. Самым трудным в семействе языков называется тот, к которому сводим любой другой; классическими являются такие результаты, как существование самого трудного языка для обыкновенных (бесконтекстных) грамматик и несуществование такового для линейных грамматик. Данная магистрская работа исследует существование самого трудного языка для двух семейств: двусторонних автоматов линейного времени (родственных односторонним автоматам реального времени, которые уже были рассмотрены в бакалаврской работе) и LL(k) грамматик (классического подсемейства обыкновенных грамматик, разбираемого за линейное время). Для обоих семейств успешно построен самый трудный язык: в первом случае применён метод сигналов, чтобы смоделировать функцию перехода как поиск в фиксированной таблице; во втором случае разработана конструкция-"скрепка", позволяющая детерминистически переносить информацию о разборе между соседними образами символов.

An important notion in formal language theory is that of homomorphic reducibility: a language is said to be reducible to another if it is representable as an inverse homomorphic image of the latter. If all languages in some family are reducible to a single language from that family, the latter is said to be the hardest for its family; classical results in this area include the existence of a hardest language for ordinary (context-free) grammars as well as the non-existence of such a language for linear grammars. This Master's thesis investigates the existence of a hardest language for two different families: two-way linear-time cellular automata (related to one-way real-time cellular automata, which were previously investigated in the Bachelor's thesis), and LL(k) grammars (classical subfamily of ordinary grammars that admits linear-time parsing algorithms). For both families, the hardest language is successfully constructed: in the former case, using the signal framework to model the transition function as a fixed table lookup; in the latter case, using a specially devised "clip" gadget to deterministically transmit the data used by a parser between images of consequent symbols.