Tropical sets in graphs

Abstract

Разработка эффективных алгоритмов для перечисления всех возможных решений определённого типа – одна из основных алгоритмических задач. В частности в алгоритмах на графах часто перечисляются подмножества вершин, обладающие определённым свойством. Оптимизационная задача Тропические Связные Множества относится к задаче Графовые Узоры, которая исследует раскрашенные графы и имеет много различных приложений, например, в биологии. Тропическое связное множество раскрашенного графа - это такое подмножество вершин, индуцирующих связный подграф, в котором присутствуют все цвета исходного графа. В работе исследованы алгоритмы, перечисляющие все минимальные по размеру тропические связные множества в данном раскрашенном графе. Представлены алгоритмы для произвольных и хордальных графов со временем работы $O*(1.9999993^n)$ и $O*(1.994^n)$. Также представлен алгоритм для хордальных графов с небольшой древесной шириной.

The development of effective algorithms for enumerating all possible solutions of a certain type is one of the main algorithmic problems. In particular, graph algorithms often list subsets of vertices that have a certain property. The optimization task Tropical Connected Sets refers to the Graph Motif problem, which deals with vertex-colored graphs and has many different applications, for example, in biology. A tropical connected set of a vertex-colored graph is a subset of vertices which induces a connected subgraph in which all the colors of the input graph appear at least once. The paper investigates algorithms that list all the smallest tropical connected sets in a given colored graph. Algorithms for arbitrary and chordal graphs are presented with running time $O*(1.9999993^n)$ and $O*(1.994^n)$ respectively. Also an algorithm for chordal graphs with a small treewidth is presented.