Accounting nonlinear summands in a small parameter method in solving the problem of a two-component material with a curved interface

Abstract

В представленной работе рассматривается влияние нелинейных слагаемых в методе малого параметра решения задачи о двухкомпонентном материале с искривленной межфазной границей. Для учета влияния межфазного слоя используется модель поверхностной упругости Гертина-Мердока, согласно которой, этот слой представляется в виде упругой мембраны, которая когерентно связана с основным материалом и отличается по своим свойствам от объемных фаз. Условия механического равновесия описываются с помощью обобщенного закона Юнга-Лапласа. Используя метод возмущений вместе с комплексными потенциалами Гурса-Колосова и подходом Мусхелешвили, поставленная краевая задача на каждом шаге асимптотического приближения сводится к гиперсингулярному интегральному уравнению. В качестве результатов численного решения представлены графики распределения окружных напряжений вдоль искривленного межфазного рельефа. Вo второй части работы приводится решение поставленной задачи методом конечных элементов, результаты решения сравниваются с решением метода возмущений, исследуется сходимость обоих методов и определяются зависимости коэффициента концентрации напряжений от основных параметров задачи.In the present work, we consider the influence of nonlinear terms in the method of a small parameter for solving a plane problem of bimaterial with an undulated interface. To account the influence of the interface region, Gurtin-Murdoch theory of surface elasticity is used, according to which, the interphase domain is assumed to be a negligibly thin layer, adhering to the bulk phases, with material constants, which differ from those of the bulk materials. The conditions of mechanical equilibrium are described by the generalized Young-Laplace equation for membrane-type interfaces. Using the perturbation technique combined with Goursat-Kolosov complex potentials and Muskheleshvili representations, the original boundary-value problem is reduced to the sequence of hypersingular integral equations. As results of numerical solution we obtain the distribution of hoop stress along the curved inteface. In the second part of this study the solution of the problem is given by the finite element method, the results of the solution are compared with the solution of the perturbation technique, convergence of both methods is investigated and determined dependence of stress concentration coefficient on main parameters of the problem.