Inversion of natural transformations in (reduced) triangulated categories

Abstract

Есть три различных способа определить ”инвариантный” объект A для преобразования τ: Id -> F. А именно, слабая τ-инвариантность, при которой τ(A) расщепляется, (сильная) τ-инвариантность, при которой τ(A) обратим, и τ-ортогональность, при которой A ортогонален всем конусам преобразования τ, что означает, что все морфизмы из любого конуса τ в A равны 0. Все три класса тесно связаны с образом нашего эндофунктора локализации (если он существует). В первой части рассматривается множество естественных преобразований между (точными) функторами, сохраняющими копроизведения. Доказывается общее утверждение о локализации: в случае хорошего порождения (обобщение компактного порождения) категории множеством объектов S, конусы естественных преобразований τ_i(s), где s из S, хорошо порождают ядро функтора локализации, универсально обращающего все τ_i. Исследуется связь слабо инвариантных и ортогональных объектов. Доказывается ортогональность т.н. τ-кручения (таких A, что τ(A) = 0) и τ-инвариантных объектов.

Во второй части рассматриваются категории с счётными копроизведениями. Ограничиваемся на случай естественного преобразования τ: Id -> F, где F сохраняет счётные копроизведения и F(τ(-)) = τ(F(-)). Доказывается, что гомотопический предел MA = hocolimF_i(A) задаёт функтор локализации Бусфилда, обращающий τ. Далее при помощи гомотопического копредела, определяется функтор локализации для любого счётного набора попарно коммутирующих преобразований, удовлетворяющих нашим условиям.

В последней части приводятся примеры для наших утверждений. В работе обобщаются некоторые результаты Ш. Келли и Т. Бахманна.We try to invert transformations between exact endofunctors on a triangulated category T via Bousfiled localization functors. The text can be divided into three parts.

There are three ways to define certain invariance property for a transformation of functors. Namely, an object A is said to be weakly τ-invariant if τ(A) is split injective; invariant if τ(A) is invertible, and τ-orthogonal if there are no non-zero morphisms from cones of all τ an A. In the first part we take a set of transformations between (exact) endofunctors that respect coproducts. We prove that in the case where T is well generated (in particular, if T is compactly generated) by a set S of its objects, then the cones of all τ_i(s) (for s in S) well generate the kernel of a Bousfiled localization functor T\to T that universally inverts all τ_i. We study the relation between weakly invariant and orthogonal objects, and prove that τ-torsion objects (such that τ(A) = 0) are orthogonal to τ-invariant ones.

In the second part we treat categories with countable coproducts, and restrict ourselves to the case of a transformation τ: Id -> F, where F respects countable coproducts, and also assume F(τ(-)) = τ(F(-)). We prove that the homotopy colimit MA = hocolim F_i(A) defines a localization endofunctor that universally inverts τ. Moreover, we use the hocolim to construct a localization endofunctor that inverts a countable family of pairwise commuting transformations satisfying the aforementioned assumptions.

In the last part we give several examples for our main statements. We generalize certain results of Sh. Kelly and Th. Bachmann.