Rational interpolation methods for error control coding

Abstract

Работа посвящена задаче построения рационального интерполянта $$ r(x)=p(x)/q(x);\ \{r(x_j)=y_j\}_{j=1}^N, \{x_j,y_j\}_{j=1}^N \subset \mathbb C , \ \{p(x),q(x)\} \subset \mathbb C[x] \, . $$ В развитие результата К.\,Якоби интерполянт представляется в виде отношения ганкелевых полиномов, т.е. полиномов вида $ \mathcal H_{K}(x)=\det [c_{i+j-1}-c_{i+j-2}x]_{i,j=1}^{K} $. Порождающая последовательность $ \{c_k\}_{k\in \mathbb N} $ выбирается в виде $ \{\sum_{j=1}^N x_j^ky_j/W^{\prime}(x_j) \}_{k\in \mathbb N} $ для полинома $ q(x) $ и в виде $ \{\sum_{j=1}^N x_j^k/(y_jW^{\prime}(x_j)) \}_{k\in \mathbb N} $ для полинома $ p(x) $; здесь $ W(x)=\prod_{j=1}^N(x-x_j) $. Приводятся условия разрешимости задачи и несократимости получаемой дроби. В дополнение к формальному построению решения в детерминантной форме, в настоящей статье предложена процедура эффективного вычисления соответствующих ганкелевых полиномов. Она основана на тождестве Якоби--Йоахимшталя, связывающем ганкелевы полиномы трех последовательных порядков линейным соотношением вида $$ \alpha \mathcal H_K(x)-(x+\beta) \mathcal H_{K-1}(x)+ 1/\alpha \mathcal H_{K-2}(x) \equiv 0 $$ при некоторых константах $ \{\alpha,\beta \} \subset \mathbb C $. Доказательство этого соотношения также приводится в статье вместе с дополнительным обсуждением вырожденного случая $ \alpha=0 $. На основании изложенных результатов может быть развернута процедура вычисления ганкелевых полиномов рекурсивная по их порядку. Такая возможность позволяет получить не только интерполянт с фиксированными степенями полиномов $ p(x) $ и $ q(x) $, но и все семейство интерполянтов при различных комбинациях степеней: $ \deg p + \deg q \le N-1 $.

The problem of rational interpolant construction is treated: $$ r(x)=p(x)/q(x);\ \{r(x_j)=y_j\}_{j=1}^N, \{x_j,y_j\}_{j=1}^N \subset \mathbb C , \ \{p(x),q(x)\} \subset \mathbb C[x] \, . $$ At the basis of one result by C.Jacobi, the interpolant is represented as a ratio of two Hankel polynomials, i.e. polynomials of the form $ \mathcal H_{K}(x)= \det [c_{i+j-1}-c_{i+j-2}x]_{i,j=1}^{K} $. The generating sequence for these polynomials is selected as $ \{\sum_{j=1}^N x_j^ky_j/W^{\prime}(x_j) \}_{k\in \mathbb N} $ for $ q(x) $ and as $ \{\sum_{j=1}^N x_j^k/(y_jW^{\prime}(x_j)) \}_{k\in \mathbb N} $ for polynomial $ p(x) $; here $ W(x)=\prod_{j=1}^N(x-x_j) $. The conditions for the solubility of the problem and irreducibility of the obtained fraction are also presented. In addition to formal representation of solution in determinantal form, the present paper is focused also at the effective computational algorithm for the Hankel polynomials. It is based on an identity by Jacobi and Joachimsthal connecting a triple of the Hankel polynomials of successive orders: $$ \alpha \mathcal H_K(x)-(x+\beta) \mathcal H_{K-1}(x)+ 1/\alpha \mathcal H_{K-2}(x) \equiv 0 \ ; $$ here $ \{\alpha,\beta \} \subset \mathbb C $ are some constants. The proof of this relation is also contained in the paper along with discussion of a degenerate case $ \alpha=0 $. With these results, a procedure for the Hankel polynomial computation can be developed which is recursive in its order. This gives an opportunity not only to compute a single interpolant with specialized degrees for $ p(x) $ and $ q(x) $ but also to compose the whole set of interpolants for arbitrary combination for the degrees: $ \deg p + \deg q \le N-1 $.