Investigation of Runge-Kutta methods with high order of accuracy

Abstract

Выпускная работа посвящена исследованию методов Рунге – Кутты повышенного порядка точности. Рассматриваются методы 2 и 3 этапов, которые построены с помощью разложения, использующего производные функции правой части задачи Коши. Проводится исследование устойчивости метода путем анализа области устойчивости. Максимизация площади осуществляется за счет выбора параметров метода. Параметры, при которых площадь оказывается наибольшей, считаются оптимальными. При решениях тестовых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных проведено сравнение с явными методами без использования производной и с явными методами повышенного порядка с неоптимальными параметрами.

Thesis is devoted to the investigation of Runge - Kutta methods of high order of accuracy. Methods of 2 and 3 stages are considered. The methods are constructed by the Taylor expansion, with usage of derivatives of the function from the right side of the Cauchy problem. The stability of the method is investigated by the analysis of the stability domain. Maximizing of the area of stability domain is carried out by the choice of the method parameters. Parameter values, which are formed the solution of maximization problem, are considered as optimal. The comparison with ordinary explicit methods and high order methods with non-optimal parameters is realized through the solutions of test problems for ordinary differential equations and partial differential equations.