On the local properties of the solutions of the problems of hydrodynamics

Abstract

Про уравнение Δu + bu = 0 для известного бездивергентного векторного b и неизвестного скалярного u известно многое, но на некоторые вопросы до сих пор ответа нет. Один из таких вопросов, об ограниченности u в зависимости от класса L_p, которому принадлежит b, и рассматривается в этой работе. Ранее было известно об обязательной ограниченности в случае p > n/2, а также были известны примеры неограниченных решений для p < (n-1)/2. В данной работе рассматривается частный случай такого уравнения, что позволяет построить пример для p = (n-1)/2, а также доказывается невозможность улучшить этот пример в рамках выбранного случая.

Equation Δu + bu = 0 with known divergence-free vector field b for unknown scalar u is well investigated, but some questions still remain open. One of such questions regarding how boundedness of u depends on the space L_p, in which b lies, is considered in this work. It was known before that solution is bounded when p > n/2, and for p < (n-1)/2 some counterexamples were known. This work investigates a special case of the equation in which it was possible to construct a counterexample for p = (n-1)/2 and for bigger p to prove boundedness of solutions.