ОТЗЫВ НАУЧНОГО РУКОВОДИТЕЛЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ
студентки Бариновой Ольги Вячеславовны,
выполненной на тему: Частные решения уравнения Колмогорова-Чепмена и их связь с уравнениями математической физики.
Тема связана с построением математического аппарата для изучения марковских случайных процессов, встречающихся почти во всех прикладных науках – механике, кинетике, физике и др. Несмотря на значительные усилия, предпринятые с начала двадцатого века
большим количеством ученых разных национальностей, эта задача далека от завершения. Главная трудность в том, что основополагающее уравнение для так называемой вероятности перехода - уравнение Колмогорова-Чепмена (КЧ) - является билинейным. Оно обычно решается сведением его к линейным уравнениям математической физики (в частных производных или интегро-дифференциальным). Однако еще в 1932 г. на Всемирном математическом конгрессе С.Н.Бернштейн поднял вопрос об актуальности решения уравнения КЧ прямыми методами. Его ученик Сарманов в 1962 г. нашел несколько частных решений упомянутого уравнения в виде рядов при определенных ограничениях. В 2007 г. я нашел еще несколько частных решений и в виде рядов, и в виде интегралов. При этом возник вопрос о том, как эти решения связаны с теми, которые получены традиционными уравнениями математической физики, известными как прямое и обратное уравнения Колмогорова. Какие при этом можно ожидать ответы, находим в представленной работе О.В.Бариновой.
Рассматриваются три примера известных с 2007 г. решений уравнения КЧ. Одно из них относится к марковскому процессу с непрерывными траекториями, два других - к чисто разрывному. Эти свойства (непрерывности) автором тщательно доказываются с использованием процедуры, описанной в классическом учебнике Б.В.Гнеденко. Затем в соответствии с данными свойствами по известным правилам из того же учебника выводятся уравнения Колмогорова. Основная трудность, преодоленная автором, - наличие слабой особенности в интегральной части уравнения для чисто разрывного процесса (пример 3) и даже сингулярности (пример 2). В последнем случае автору пришлось прибегнуть к понятию "главного значения интеграла по Коши". В примере 1 (процесс с непрерывными траекториями) автор вывел одно и то же уравнение двумя способами. Все эти результаты получены асимптотическим анализом вероятности перехода по малой разности времени между соседними значениями процесса, включением результата в уравнение КЧ и перехода к пределу. В оценках используется лемма Эрдейи и таблицы преобразований Фурье. Неожиданно оказалось, что уравнения Колмогорова в примере 3 можно записать в дробных производных Римана-Лиувилля и Харди-Литтлвуда, что ранее в литературе не отмечалось, как не отмечалось и понимание в данном контексте интеграла в смысле главного значения по Коши.
Кратко вышеописанные результаты новые, получены с полным обоснованием и имеют большое значение в приложениях марковских процессов на практике. Необходимые источники указаны. Считаю, что данную работу следует обязательно опубликовать. 
Саму квалификационную работу оцениваю на отлично.


Руководитель ВКР   Доктор физ.-мат. наук, профессор. Р.Н.Мирошин.