Матрица Ляпунова и построенная на её основе квадратичная форма позволяют решать ряд практических задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. С их помощью, в частности, можно исследовать устойчивость линейных и квазилинейных систем, получать оценки решений, вычислять норму передаточной матрицы. Для решения этих задач в случае систем с запаздывающим аргументом успешно применяется теория функционалов Ляпунова-Красовского полного типа. Такие функционалы строятся на основе функциональной матрицы Ляпунова, которая определяется как решение специфической граничной задачи для линейной системы дифференциально-разностных уравнений.
Естественно, возникла задача построения матриц Ляпунова для систем с запаздыванием. Её решению посвящён целый ряд публикаций в международных научных журналах. На сегодняшний день задачу можно считать решённой для систем с одним запаздыванием и систем с несколькими кратными запаздываниями. Сложнее обстоит дело, если запаздывания не являются кратными. Совсем недавно был предложен алгоритм аппроксимации матрицы Ляпунова с заданной точностью в случае, когда уже известно, что система экспоненциально устойчива. В общем же случае существует только ряд эвристических процедур, позволяющих аппроксимировать матрицу Ляпунова полиномиальными или кусочно-полиномиальными функциями.
Выпускная квалификационная работа Чернышевой Любови Андреевны посвящена попытке найти универсальный метод аппроксимации матриц Ляпунова с заданной точностью или с возможностью оценить погрешность приближения. Граничная задача из определения матрицы Ляпунова была сведена к уравнению Фредгольма 2-го рода, а для решения этого уравнения были применены два метода: метод последовательный приближений и квадратурный метод. Работоспособность этой идеи продемонстрирована на примерах скалярных уравнений с двумя запаздываниями.
В процессе выполнения проекта Любовь Андреевна проявила способность к самостоятельной работе, умение находить и применять адекватный математический инструментарий для решения возникающих проблем. Ею проделана большая работа по разработке и реализации численных методов построения матриц Ляпунова, однако в этом направлении можно сделать ещё очень много, поэтому я рекомендую Любови Андреевне продолжить её работу в магистратуре.
Считаю, что выпускная квалификационная работа «Матрица Ляпунова как решение уравнения Фредгольма» Чернышевой Любови Андреевны заслуживает оценки «отлично».