Выпускная квалификационная работа А.И.Дорохина посвящена исследованию вопроса о (не)существовании чисел Кармайкла специального вида, а именно, вида k 2^n+1 при фиксированном k. Сами числа Кармайкла являются весьма популярным объектом исследования в различных задачах вычислительной теории чисел (задачи факторизации, проверки на простоту и т.п.). Несмотря на более чем столетнюю их историю, интерес к числам Кармайкла сохраняется  до настоящег времени.

Отправной точкой для проведённого исследования стали два относительно недавних результата:

(1) Множество тех нечётных k, для которых есть хотя бы одно число Кармайкла вида k 2^n+1 имеет асимптотическую плотность 0  (W. Banks, C. Finch,F. Luca, C. Pomerance, P. Stănică, 2015).

(2) Для всякого нечётного k множество чисел Кармайкла вида k 2^n+1 конечно. Более того, существует эффективно вычислимая верхняя оценка на n, зависящая только от k (J. Cilleruelo, F. Luca, A. Pizarro-Madariaga, 2016).

Однако если мы хотим указать конкретные значения k, для которых множество чисел Кармайкла вида k  2^n+1 пусто, указанные выше результаты оказываются не слишком полезны. Например, хотя второй из упомянутых  результатов и даёт потенциальную возможность выяснить путем конечного перебора, если ли для данного k числа Кармайкла вида k 2^n+1, приведённая в нём верхняя оценка настолько велика, что вряд ли имеет практическое применение. Известные частные случаи, для которых удавалось получить ответ, обычно требовали отдельного рассмотрения, и для каждого случая приходилось изобретать свой метод.

Перед А.И.Дорохиным была поставлена задача построить, по возможности явно, примеры k, для которых нет чисел Кармайкла вида k 2^n+1. С этой задачей Александр Игоревич блестяще справился. Поскольку с ростом числа делителей k сложность исследования существенно возрастает, естественно ограничиться тем случаем, когда количество делителей k мало. В этом направлении А.И.Дорохиным получены  два результата, которые и составили основу выпускной работы.

Во-первых, указана явная арифметическая прогрессия (со взаимно простыми разностью и начальным членом), такая, что для всякого простого q из этой прогрессии, ни одно из чисел 
 3q 2^n+1 не является числом Кармайкла. 

Во-вторых, показано, что не существует чисел Кармайкла вида 49*2^n+1, 121*2^n+1, 169*2^n+1 (в этих случаях k --- квадрат простого числа). 

Доказательства потребовали как применения довольно изощренной техники, так и привлечения компьютерных вычислений. С обеими задачами Александр Игоревич успешно справился. Насколько мне известно, основные результаты работы являются новыми и не встречались ранее в литературе. Все они снабжены подробными и довольно аккуратными доказательствами.

Работа выполнена полностью самостоятельно. Моя роль как научного руководителя состояла во введении в область вычислительной теории чисел и в постановке общей задачи. Всю последующую работу, включающую, в том числе, формулировку окончательных результатов, построение общей схемы доказательства и проведение подробного доказательства, Александр Игоревич выполнил самостоятельно. 

Сам результат после некоторой доработки вполне может быть рекомендован к публикации в каком-либо издании, специализирующемся в области теории чисел (например, в журнале Integers).

Считаю, что выпускная квалификационная работа Александра Игоревича Дорохина достойна оценки 
отлично, а автор заслуживает присвоения степени бакалавра.

05 июня 2023 г.

Научный руководитель
профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел СПбГУ,
доктор физико-математических наук,
член-корреспондент РАН
М.А.Всемирнов