Отзыв научного руководителя
о выпускной бакалаврской работе М. А. Кольцова
«Построение минимального эллипсоида»


     В выпускной работе М. А. Кольцова рассматривается задача построения эллипсоида минимального объёма, содержащего данное конечное множество  A точек в n-мерном эвклидовом пространстве, и её частный случай – задача Сильвестра о построении шара минимального объёма, содержащего множеcтво A. Эти задачи имеют многочисленные приложения. Как пример приложения, назову математическую диагностику.
     Известно, что задача Сильвестра эквивалентна некоторой задаче квадратичного программирования. Через двойственную задачу она сводится к минимизации квадратичной функции на стандартном симплексе. По решению последней задачи восстанавливается (по явным формулам) решение задачи Сильвестра. Этот метод реализован М. А. Кольцовым в среде MATLAB. Проведены вычисления, подтверждающие высокую эффективность метода. Сделано наблюдение о том, что количество итераций аффинно зависит от количества точек в множестве A. 
     Общая задача о минимальном эллипсоиде является сложной экстремальной задачей на множестве функций от симметричных матриц. В данной работе для её решения используются и анализируются алгоритмы Шора и Хачияна. Алгоритм Шора связан с растяжениями пространства в различных направлениях и попыткой свести общую задачу к задаче Сильвестра. Шору принадлежит замечательная идея о переходе в пространство на единицу большей размерности для того, чтобы избавится от нахождения центра оптимального эллипсоида. Алгоритм Хачияна использует двойственный подход. С помощью глубокого анализа удаётся свести исходную задачу к задаче минимизации выпуклой функции на стандартном симплексе, по решению которой восстанавливается (по явным формулам) решение задачи о минимальном эллипсоиде. 
     В выпускной работе методы Шора и Хачияна реализованы в среде MATLAB. Проведены массовые вычисления по сравнению эффективности этих методов (в частности, на задаче Сильвестра). Предложен комбинированный метод, заметно уменьшающий количество итераций. На этом пути возможно дальнейшее совершенствование метода решения практически важной задачи о минимальном эллипсоиде.
     Считаю, что в этой работе её автор, М. А. Кольцов, проявил высокую квалификацию как в математической области, так и в области программирования. Работа заслуживает оценки «ОТЛИЧНО».

             26 мая 2016 г.                                          Проф. В. Н. Малоземов