ОТЗЫВ научного руководителя 
на выпускную квалификационную работу
студента 4 курса бакалавриата 01.03.01 Математика
Деда Ледио 
по теме «Вычисление коэффициентов дробных скручиваний Дена»

В подготовленной Ледио работе представлен алгоритм и действующая программа вычисления так называемых коэффициентов дробных скручиваний Дена (эта величина называется также числом переноса Пуанкаре или закрученностью) для элементов групп кос, результаты вычислительных статистических экспериментов, проведенных с помощью этой программы, а также анализ полученных данных. Исследование коэффициентов дробных скручиваний Дена (КДСД) относится к тематике, находящейся на стыке теории групп, топологии малых размерностей, теории динамических систем, теории вероятностей, комбинаторики, физики и компьютерных наук. 
Коэффициенты дробных скручиваний Дена – рациональнозначный инвариант сопряжения, он эффективно вычислим и имеет прозрачный геометрический смысл, – КДСД показывает, насколько сильно коса «закручена» или «перекручена». На группе кос фиксированного индекса закрученность является псевдохарактером – отображением, «похожим» на гомоморфизм. Этот псевдохарактер тесно связан с порядком Деорнуа (и порядками терстоновского типа вообще). КДСД допускает определение через число вращения и число переноса, введенные А. Пуанкаре. Эти понятия играют заметную роль в теории динамических систем и имеют богатую историю. Инварианты Пуанкаре связывают КДСД с числами переноса и вращения для определенных классов динамических систем на торе, включающих динамические системы, моделирующие динамику джозефсоновского перехода, что делает задачу анализ динамики поведения КДСД особенно актуальной.
Коэффициенты дробных скручиваний Дена, в отличие от многих других инвариантов динамического типа, эффективно вычислимы, однако алгоритмы подсчета точного значения для заданной косы неэлементарны. Проверки показали, что созданная Ледио программа функционирует корректно и достаточно эффективно. Насколько мне известно, статистических данных о динамике КДСД такого значительного объема, который дан в работе Ледио, в научной литературе до настоящего времени представлено не было. Полученные Ледио данные имеют несомненную научную значимость и уже позволили сформировать ряд новых гипотез, касающихся поведения и свойств КДСД. Наиболее яркая из этих гипотез утверждает, что асимптотически доля кос с целочисленными КДСД стремится к единице (подразумевается, что у гипотезы имеются вариации для различных мер и различных исчерпывающих группу последовательностей подмножеств). Эта гипотеза интерпретируется как гипотеза о том, что известный из теории джозефсоновского перехода эффект целочисленного квантования проявляется в группе кос в полной мере. То, что этот эффект проявляется в группах кос до определенной степени, было известно (это отмечено в работе [А.В. Малютин, Эффект целочисленного квантования числа вращения в группах кос, Труды МИАН, 2019, том 305, 197–210]). Однако, поскольку ранее анализ проводился на существенно меньших объемах данных, я не предполагал, что эффект может проявляться в такой существенно более высокой степени, обеспечивающей переход на качественно новый уровень. В этой связи полагаю, что полученные Ледио данные требуют публикации. 
Работа не лишена недостатков, однако они не сказываются на корректности работы программы и значимости полученных данных. Склоняюсь к тому, что работа заслуживает оценки «отлично», а её автор заслуживает присвоения степени бакалавра.
     
«1» июня 2023  г.                  __________________                           Малютин А.В.
                                                            Подпись                                                     ФИО