Отзыв научного руководителя
на выпускную квалификационную работу  студента 
Шамова Степана на тему
"Пополнение весовых триангулированных категорий”


	 Выпускная квалификационная  работа  Степана Шамова посвящена изучению некоторых весо-точных локализаций триангулированных категорий, а именно — весо-точных локализаций, соответствующих некоторым «пополнениям».  
Этот класс весо-точных локализаций существенно отличается от примеров, рассмотренных ранее в важных работах М.В. Бондарко и В.А. Соснило. В самой работе изучаются новейшие разделы гомологической алгебры; ее результаты могут применяться к важным (и сложным) примерам пополнений, актуальным для алгебраической геометрии (включая теорию мотивных категорий) и алгебраической топологии.  
	В случае, когда исходная категория  --- производная категория D(R) кольца R, снабженная т. н. проективной весовой структурой, рассматривается локализация по подкатегории, эквивалентной производной категории другого кольца U. Основной источник таких подкатегорий --- локализации кольца R по какому-то множеству центральных элементов S; однако есть и другие примеры. Для того, чтобы функтор локализации  π был весо-точен (т. е., исходная весовая структура «индуцировала» весовую структуру на локализованной категории E), приходится требовать, чтобы проективная размерность U как R-модуля была равна 1. Последнее условие автоматически выполнено, если U — локализация кольца R по счетному S.  Отмечу также, что  U не является компактным объектом D(R) - а значит, подкатегория, по которой производится локализация π, не компактно порождена; это существенно отличает рассматриваемый класс локализаций от основных примеров, рассмотренных ранее. Саму локализованную категорию E  можно назвать некоторым (S-адическим) пополнением D(R).
	Основные результаты  квалификационной  работы выводятся из результатов статьи Бондарко и Соснило (которую посоветовал Степану я), и недавно опубликованной статьи С. Баццони и Л.Е. Посицельского, которую Степан нашел самостоятельно. Эти источники были очень удачно скомбинированы; это дало основную теорему о существовании весо-точной локализации и вычислении ядра соответствующей весовой структуры на  E (это — полная подкатегория «объектов веса 0» в Е). Из весо-точности следует, что полный строгий функтор, сопряженный справа к  π, точен справа относительно t-структур, смежных с соответствующими весовыми структурами. Кроме того, ядро полученной t-структуры на  E — некоторая категория т. н. контрамодулей (т. е., некоторый «ортогонал» к U в категории R-модулей; некоторая версия контрамодулей была определена еще Эйленбергом и Муром, но для целей выпускной работы очень хорошо подошло именно определение  Баццони и Посицельского); соответственно, ядро весовой структуры  на  E эквивалентно категории проективных контрамодулей. Кроме того, при «аналогичной» локализации произвольной триангулированной категории, снабженной весовой структурой, ядро которой эквивалентно категории проективных R-модулей, получается категория E, снабженная весовой и t-структурами, ядра которых эквивалентны упомянутым выше категориям контрамодулей. Соответственно, эти утверждения (в отличие от результатов  Посицельского и  Баццони) можно применять к «топологическим» триангулированным категориям — включая «топологическую» и мотивную стабильную гомотопическую категорию.
	Вместе со Степаном, мы, вероятно, продолжим работу над весо-точными локализациями и их применениям. Вероятно, это даст важные свойства различных l-адических мотивных категорий и позволит опубликовать результаты выпускной работы в хорошо известном математическом журнале. Возможно, некоторые результаты также найдут интересные применения в «классической» стабильной гомотопической теории.
	Степан Шамов ответственно отнесся к написанию работы. Выпускная работа написана математически грамотно; план работы хорошо продуман. Ряд ее результатов являются абсолютно новыми и представляют значительный научный интерес. Результаты работы хорошо отражены во введении к ней.  К сожалению, работа содержит существенную неточность, на которую обратил внимание рецензент; однако, Степан смог ее быстро и качественно исправить.  

Заключение: допускаю работу к защите. Рекомендуемая оценка: отлично.
	 
Научный руководитель,
	Доцент факультета Математики и Компьютерных наук,
Профессор РАН,


д.ф.-м.н.
 М.В. Бондарко