Отзыв научного руководителя
на выпускную квалификационную работу  студента 
Айзатова Александра на тему
"Generalized localizations of coefficient rings 
for (triangulated) categories”


	 Выпускная квалификационная  работа  Александра Айзатова посвящена попытке обобщить некоторые хорошо известные результатов теории «локализаций колец коэффициентов» для компактно порожденных триангулированных категорий.  а именно — весо-точных локализаций, соответствующих некоторым «пополнениям».  Отметим, что если категория C линейна над кольцом R, умножение на элемент R дает преобразование из тождественного функтора  категории C в себя. Соответственно, Александр рассматривал универсальные точные функторы, сохраняющие копроизведения и делающие некоторое множество естественных преобразований обратимыми. Отметим, что в теории мотивных категорий известно два важных функтора локализации этого типа (отличных от локализаций колец коэффициентов) — обращение морфизмов, соответствующих некоторым элементам Бокштейна (это соответствует т. н. этальной реализации) и морфизмов Мореля $\eta\otimes id_{X}$. Соответственно, саму работу можно отнести к теории категорий и гомологической алгебре; ее результаты могут применяться теории мотивных категорий.  

	В квалификационной  работе  Александр попытался описать локализации описанного выше типа как для одного преобразования, так и для  счетного семейства преобразований, удовлетворяющего некоторым условиям, при помощи счетных гомотопических копределов (определенных Нееманом и Бокштедтом). Он доказал, что рассматриваемые им копределы действительно дают объекты, на которых рассматриваемые преобразования  обратимы. Александр также показал, что основное условие «коммутирования» является необходимым для этого метода построения.   

Основные утверждения работы снабжены подробными доказательствами и демонстрируют хороший уровень владения современной гомологической алгеброй. Небольшое количество небрежностей (в частности, в использованном Александром английском языке) не снижают общее впечатление от работы. К основным недостаткам я бы отнес то, что Александр не успел проверить то, что его "копредельная" конструкция, действительно, задает искомый функтор локализации (возможно, при выполнении каких-то дополнительных условий).
  
Заключение: допускаю работу к защите. Я уверен, что эта работа заслуживает оценки «хорошо» - но не вполне уверен, что Александр заслужил «отлично».
	 
	Научный руководитель,
	Доцент факультета Математики и Компьютерных наук,
Профессор РАН,


д.ф.-м.н.
 М.В. Бондарко