РЕЦЕНЗИЯ на выпускную квалификационную работу обучающегося СПбГУ _________ Сафроненко Евгения Владимировича_____________  по теме __Оценки мер симметрии для выпуклых тел__________  Соответствие содержания ВКР заявленной в названии теме. Направление исследования выбрано в соответствии с темой и выдержано по всей работе.  Оценка раскрытия заявленной в названии темы. Цели и задачи четко сформулированы и достигнуты, работа отличается смысловой законченностью, тема полностью раскрыта. Оценка структуры ВКР. Соблюдена логическая последовательность этапов исследования, а также отражающих их разделов работы. Структура ВКР обоснована задачами исследования. Актуальность исследуемых проблем. Изучаемые в работе аффинные меры симметрии выпуклых тел были введены в известной работе М.Мейера, К.Шютта и Э.Вернера в 2011 году. Несомненно, исследование таких мер, является актуальной проблемой. Использование современной литературы и достижений науки. В работе использованы и улучшены результаты, опубликованные в монографиях и в ведущих международных журналах в 2011-2015 годах. Оценка обоснования выводов. Все выводы и результаты работы основаны на строгих математических доказательствах. Положительные и отрицательные стороны ВКР. Каждая из исследуемых в работе аффинных мер симметрии выпуклых тел определяется парой аффинно-инвариантных точек и принимает значения между нулем и единицей. В частности, такая мера равна единице для центрально-симметричных тел, а также для симплекса и других выпуклых тел, обладающих достаточно богатой группой симметрий. В работе исследуется асимптотическое поведение минимального значения некоторых мер симметрии при росте размерности. Особое внимание уделено мерам, построенным по трем аффинно-инвариантным точкам: центроиду, центру эллипсоида Джона и центру эллипсоида Лёвнера. Автором получены асимптотически точные оценки для минимального значения меры симметрии, построенной по центрам эллипсоидов Джона и Лёвнера. Доказано, что минимально значение соответствующей меры симметрии ведет себя как константа, деленная на размерность пространства. Этот результат существенно улучшает оригинальный результат Мейера, Шютта и Вернера, которые лишь построили пример тела, указанная мера симметрии которого асимптотически равна 1/2. Аналогичные результаты получены для меры, построенной по центроиду и центру эллипсоида Лёвнера. При доказательстве оценки снизу для меры симметрии произвольного выпуклого тела автор демонстрирует высокую математическую культуру и удачным образом использует аргументы, которые, по сути, близки к рассуждениям из работы Мейера, Шютта и Вернера. Конструкция тела для оценки сверху является интересной модификацией конструкции из вышеупомянутой статьи. Несомненно, работа оставляет положительное впечатление с математической точки зрения. Основной отрицательной стороной работы является небрежность автора при написании ключевых математических терминов. В частности, в работе регулярно встречаются слова «афинный» и «ассиметрия»; также иногда встречаются термины “элипсоид” и «ассимптотический». К сожалению, имеются опечатки и в важных формулах. Например, в основном определении на первой странице (строка 15, выносная формула) пересечение заменено на объединение. В основной конструкции доказательства теоремы 7.2 путаница в обозначениях и ссылках может дезориентировать читателя. Доступность работы читателям. Изложение соответствует научному стилю. Оформление утверждений и формул отвечает стандартам, используемым в современной математической литературе. Чтение работы осложняется наличием значительного количества опечаток.  Полагаю, что выпускная квалификационная работа Е.В.Сафроненко «Оценки мер симметрии для выпуклых тел», интересна с математической точки зрения и, несмотря на указанные недостатки, заслуживает оценки «отлично».                                                                          __д. ф.-м. н., в.н.с.__ «_24_»___мая________ 2017 г.          __________________                 __Дубцов Е.С._____                                         Подпись                                  ФИО